Seeの見るは「自然に目に入る」
Seeの「見る」は自然に目に入ってきた場合の見るに使います。例えば、I saw him at the officeと言えば、自分がオフィスにいたときに彼が歩いていたのか、座っていたのか分からないですが視界に入って存在に気付いたのでしょう。
Lookの見るは「意識的に視線を向ける」
Lookの見るは意識的に視線を向けて見るです。Look at this pictureは「この写真を見てください」と意識的に視線を集める発言です。この場合see this pictureだとちょっと変ですよね。注目を集める時も意識的に視線を集めさせるのでlookが適切なことが多いです。例えばLook, think about what you've done(いいかい、あたなのやったことを考えてみなさい)
また何かを探す場合もlook forということが多いと思いますが、探しているときは、意識的に視線をあちこち向けているはずなので探すを表現するときにlook forを使うのは納得できます。
Watchの見るは「動いているものや動向を一定時間じっと見る」
Watchの見るは動いているものや動向を一定時間じっと見るという意味です。I'm going to watch a baseball game tonightなどと言えます。スポーツなどを見るはwatchを使いますね。注意喚起などもWatchを使ったりします。
Watch outと言えば、「気を付けて」という意味です。Watch your stepと言えば「足元に気を付けて」、Watch your headと言えば「頭上注意」です。Watch your mouthと言えば「言葉に気を付けて」です。