「ゴーサイン」「承認」の英語表現:green light
green lightは青信号を意味する英語表現ですが、青信号は道を進めるというルールがあるので、そこから計画やプロジェクトの「ゴーサイン」「承認」という意味になります。「ゴーサインを出す」「承認を出す」という場合はgive someone the green lightもしくはgive something the green lightで伝わります。
「ゴーサインを得る」「承認を得る」の場合はget the green lightが一番シンプルでしょう。
I will take a vacation from next week. My boss gave me the green light.
(来週から休暇を取ります。私の上司が承認をしてくれました)
take a vacationで「休暇を取る」という意味です。vacationについてはこちらの記事も参考にしてみてください。
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「正式な承認」の英語表現:seal of approval
seal of approvalは会社の社長だったり、グループのトップの人物などの高い位の人から正式な承認という意味です。動詞はgreen lightと同じで正式な承認を与えるならgive、正式な承認を得るならgetを使えば良いと思います。
I gave a presentation to the president. He was very impressed and gave me his seal of approval.
(社長にプレゼンテーションをしたら、好印象で正式に承認をもらえました)
give a presentationは「プレゼンテーションをする」という意味です。